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奥运奖牌榜应该怎么排?这是个学术问题

学术期刊网 学术资讯 2021-08-07

东京奥运会上,广大吃瓜群众讨论的一个热门话题自然是奥运奖牌榜。在大多数版本的奥运奖牌榜里,各个代表队的排序是先按金牌个数排,金牌个数相同的情况下再按银牌个数排,银牌个数相同的情况下再按铜牌个数排。


同一时间的NBC奖牌榜


这两种排序方式应该说都有一定道理。前一种排序方式强调了金牌的重要性,而后一种排序方式更看重整体实力。


对每种排序方式,都可以用某种极端情况来说明其不足之处。在前一种排序方式中,1金0银0铜的A代表队会排在0金10银10铜的B代表队之前,难道A的体育实力就强于B?在后一种排序方式中,0金0银6铜的C代表队会排在5金0银0铜的D代表队之前,这合理吗?



中国足球队真的在正赛中战胜过韩国队哟


对于偏序,我们还要求它有禁对称性,也就是说,对于两个不同的元素a,b,不能既有a<b又有b<a。还拿体育比赛作例子,在双循环的赛事中,有可能中国队在一场比赛中战胜了韩国队,而韩国队在另一场比赛中战胜了中国队,,——这同样不符合偏序的要求。


在数学里,除了常见的大小顺序,还有很多别的有意义的偏序。例如两个自然数之间的整除关系就是自然数集上的一个偏序。它满足传递性:如果a整除b而b整除c,那么一定有a整除c。它还满足禁对称性:对于不同的自然数a和b,不可能既有a整除b又有b整除a。整除关系所定义的顺序不是全序,比如2和3之间就没有整除关系。一个序结构甚至不必是发生在两个元素之间的二元关系。


还是拿体育来说事,假设你刚刚打开电梯,哦不,应该是打开电视机,看见转播长跑比赛,一群运动员正在环形跑道上奔跑,那么你能判断谁领先吗?显然不能。甚至在场上的运动员们自己都未必能判断。一个著名的例子是2004年雅典奥运会的女子万米长跑比赛。中国运动员邢慧娜率先冲过终点,但在她后面的三名埃塞俄比亚选手以为邢慧娜被自己套圈了,在冲刺阶段没能采取有效行动阻挡邢慧娜超越她们。


所以对于环形跑道上奔跑的运动员来说,根据他们的瞬间位置来说谁在谁前面是没有意义的。然而,如果我们同时考虑三名运动员A,B,C的位置,那么我们可以谈论ABC的位置是顺时针还是逆时针。(这里假定他们之间没有并列。)这就定义了一个序结构,称为“循环序”。因为我们必须要三名运动员才能谈顺时针或是逆时针,所以循环序里的关系是一个三元关系。循环序有一个有趣的特征:如果ABC是顺时针,那么BCA和CAB都是顺时针。形形色色的序结构在数学里发挥着重要的作用。在很多数学问题里,如果能找到一个合理的序结构,就能极大地推动问题的解决。


这方面近年来最著名的例子是俄国数学家佩雷尔曼对于庞加莱猜想的证明。大家知道,佩雷尔曼发表在预印本网站上的三篇论文非常晦涩难懂。然而,佩雷尔曼第一篇论文的开头就干净利落地定义了一个“熵”并证明了相应的熵增原理。用序结构的语言来说,他发现了一个新的偏序结构。这本身就是一个非常重大的突破。专家们之所以对佩雷尔曼的工作抱有极大的信心,主要原因就是这一发现。


序结构如此重要,以致于数学家们热衷于排序。然而,对序结构的深刻理解也让数学家们对于排序的态度更加超然。毕竟,排序可以是偏序,而不一定是全序。即便是全序,也可以有许多不同的排序。用日常语言来说,不是任何两样事物之间都能比较,即便能比较也不是只有一种固定的比较方式。读者:虽说如此,我还是想知道北大清华哪所学校才是“南波万”。还有,谁是世界上最好的数学家?陈省身在二十世纪数学家里能排多少名……

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